Van telraam tot Pluspunt. LESSEN 2007 nr 3

Marry Remery

In de vitrine in de hal van het onderwijsmuseum richt de Vereniging van Vrienden van het Nationaal Onderwijsmuseum regelmatig een kleine tentoonstelling in, om de leden en andere bezoekers van het museum de gelegenheid te geven iets van de immense verzameling uit het depot te laten zien. In juni 2007 werd de expositie over schoolmeubelfabrikant Gomarius Mes vervangen door een boeiende tentoonstelling over het rekenonderwijs. Deze kwam tot stand door toedoen van Harry van der Linden, de penningmeester van het bestuur van de Vereniging van Vrienden. De geschiedenis van het rekenonderwijs – Van der Linden is een verzamelaar op dit gebied – heeft zijn belangstelling mogelijk vanwege een natuurlijke affiniteit met cijfers en berekeningen, die menige penningmeester eigen is. Samen met de directeur Tijs van Ruiten, Marry Remery en museummedewerkster Joke Pijpers maakte hij een aantal keuzes, die in dit artikel aan de orde komen. Aan de hand van oude rekenboekjes en materialen gaan we in grote stappen door de geschiedenis van het rekenonderwijs. De tentoonstelling duurt tot eind 2007.

Koopmansrekenen
Het oudste rekenboek is Cijfferinghe (1604) van Willem Bartjens. 1 Het is tot in de negentiende eeuw bewerkt en herdrukt. Dit boekje bevat de gewone rekenkundige bewerkingen en vrij ingewikkelde opgaven. Rekenen was een vak dat alleen in de hoogste klassen onderwezen werd en dat men vooral van belang vond voor jongelui die in de handel zouden gaan. Daarnaast waren er telramen op de markt om het rekenen te vergemakkelijken. Kooplieden gebruikten ze, maar ook scholieren in het voornamelijk hoofdelijk onderwijs. Pas na de invoering van het klassikale onderwijs in het begin van de negentiende eeuw kwamen er grote tel¬ramen voor klassikaal gebruik. De school kreeg ook een taak bij de invoering van het metriek stelsel (1816) dat een einde maakte aan de vaak verschillende stelsels van maten en gewichten. Zo deden inhoudsmaten voor natte waren, rijtjes met gewichten, meetlatten en overzichten van het metriek stelsel hun intrede in de school. 2
Rekenen werd in 1806 bovendien een vak dat men voor alle kinderen van belang vond en dat in alle klassen aan bod moest komen. De oude methode van Bartjens had zijn tijd gehad. Iemand die daarop in sprong was H. Hemkes, schoolmeester in achtereenvolgens Smilde en Voorburg. Hij kwam met tal van rekenboekjes voor verschillende doelgroepen en niveaus, zoals De kleine rekenaar, of gemakkelijk rekenboekje voor eerstbeginnen¬den (1835) en Rekenboek voor jongens van den landelij¬ken stand (1839), die voor een stuiver of tien cent verkocht werden. 3 Ook in deze boekjes was het rekenen vrij mechanisch en beperkt tot het uitvoeren van de basale rekenkundige bewerkingen, waarbij men zich niet stoorde aan de vaak onmogelijke uitkomsten met vele cijfers achter de komma. Voor het aanvankelijk rekenonderwijs ontwikkelde Hemkes bovendien de rekenplank. 4

De leertrappen van Versluys
Schrijvers van oudere rekenboeken als Bartjens en Hemkes verwachtten van de onderwijzer dat deze didactisch wel uit de voeten konden met hun boekjes. J. Versluys betekende een keerpunt omdat hij zijn reken boekjes vergezeld liet gaan van een uitgebreide en degelijke handleiding (1875). 5 Hij bracht bovendien een betere opbouw in het rekenonderwijs waarbij hij zes leergangen onderscheidde, die nagenoeg gelijk liepen met de zes leerjaren van de lagere school. Deze methode was meer dan welkom in de tot zes klassen uitgegroeide lagere school. Zijn indeling was overzichtelijk voor kinderen en onderwijsgevenden. Zo behandelde de eerste ‘trap’ de getallen van 1 tot 20, de tweede getallen tot 100 en de derde ging tot 1.000. Vernieuwend was ook dat Versluys onderwijzers stimuleerde tot het juiste gebruik van hulpmiddelen. Zo ging hij uitvoerig in op een meer verantwoorde toepassing van het ‘Russische telraam’, dat in bijna alle scholen aanwezig was, en natuurlijk in onze vitrine niet ontbreekt. Versluys was zelf een uitstekend wiskundige en vooral zijn publicaties over de vakdidactiek bij wiskunde en meetkunde in het voortgezet onderwijs hadden veel invloed. 6
De rekenmethode van Versluys werd door andere methodeschrijvers, in steeds weer iets gewijzigde vorm en met andere hulpmiddelen nagevolgd. Sommigen maakten interessante aanvullingen zoals M. Schoonbrood met zijn ‘rekenlessenaar’ (1898), een kist gevuld met blokjes, balkjes en plankjes. 7 Eerst leerden de kinderen rekenen met losse eenheden. Tien blokjes konden ingewisseld worden voor één balkje dat door groeven in tien stukjes ter grootte van de blokjes was verdeeld. Tien tientallen konden op hun beurt weer vervangen worden door een plankje dat in 100 blokjes was verdeeld. De deksel van de rekenkist kon met behulp van klosjes in een bepaalde helling gezet worden, zodat alle kinderen konden zien hoe er met concreet materiaal sommen gemaakt konden worden. Het idee van Schoonbrood is nog steeds bruikbaar en wordt bijvoorbeeld in het rekenpracticum van Malmberg in de vorm van kubusjes, getallenstaafjes, vierkanten en grote kubussen nog altijd op scholen gebruikt.
H. Scholte voorzag zijn rekenmethode Hoeveel en waarom (1907) van een rekenbord om het rekenen aanschouwelijk te maken. 8 Van dit zwartgeverfde bord was de voorkant bestemd voor het rekenen tot 20. Links waren twintig pennen aangebracht waarop blokjes of schijven gestoken konden worden. Rechts waren kleine latjes om rekenkaarten die op dominostenen leken op -te zetten. Aan de achterzijde konden bewerkingen van 1 tot 1.000 aanschouwelijk gemaakt worden. Voor het aanvankelijk rekenen waren in het begin van de twintigste eeuw de boekjes van P.J. Bouman en J.C. van Zelm populair. 9 Daarbij hoorde een teldoos met staafjes, waarop maximaal tien losse kralen geregen konden worden. In de deksel waren gleuven gemaakt om de rijen met kraaltjes neer te leggen. Spelenderwijs leerden de jonge kinderen zo optellen en aftrekken.

Vereenvoudiging
Rond 1925 kwam er een kentering in de didactiek van het rekenonderwijs. C. Kellinga (pseudoniem van frater J. Reynders) had veel kritiek op het in zijn ogen ‘mechanistische’ rekenen, waarin de kinderen kunstjes leerden om moeilijke en levensvreemde sommen op te lossen. In de uitstekende verantwoording van zijn methode Noodig rekenen betoogde hij dat rekenonderwijs echt ‘kinderlijk’ moet zijn én in de werkwijze én in de leergang. 10 Hij vereenvoudigde en beperkte de leerstof drastisch. Vanaf het begin moesten de kinderen concreet met materialen bezig zijn. Het eerste rekenboekje bestaat bijvoorbeeld alleen uit teloefeningen en tekeningen, die de kinderen na mochten maken op hun lei. Zijn collega in Tilburg, frater S. Rombouts, werkte zijn gedachten verder uit en schreef in 1933 onder het pseudoniem Gover Grazer een theoretische verantwoording waarin hij een psychologische benadering van het rekenonderwijs hanteerde. 11 Na de Tweede Wereldoorlog werkte hij zij ideeën uit in de methode Geef acht. 12
In het interbellum waren ook andere auteurs pleitbezorgers van een meer kindgerichte benadering en vereenvoudiging van het rekenonderwijs. Zo schreven P.A. Diels en J. Nauta een didactiek van het rekenonderwijs. Zij kwamen ook met een methode die ze Fundamenteel rekenen (1936) noemden. 13 De voornaamste leidraad daarin was, dat rekenen bestaat uit het werken met getallen, waarbij het kinderlijk denken geactiveerd moest worden. Een overzichtelijke opbouw en veel herhaling leidden tot een serie herdrukken tot ver in de jaren zestig.

Differentiatie en zelfstandig werken
Het gaat te ver om in het kader van dit artikel diep in te gaan op de ontwikkelingen in de tweede helft van de twintigste eeuw. Ik volsta met het noemen van populaire methoden van de jaren vijftig en zestig, zoals Naar zelfstandig rekenen (1955), Functioneel rekenen (1958) en Niveaucursus rekenen (1966) van Vossen. 14 In al deze naoorlogse methoden lag veel nadruk op de mogelijkheden tot individualiseren en differentiatie in niveau en tempo. De losbladige methode van Vossen ging daarin het verst en had tot gevolg dat in de jaren zeventig veel scholen ertoe over gingen om de schoolorganisatie aan te passen en in alle klassen bijvoorbeeld van negen tot tien uur rekenles te geven. De kinderen werden, afhankelijk van hun vorderingen, elk halfjaar ingedeeld in twaalf verschillende niveaus. Bij een belsignaal gingen ze, met hun schriften en pennen, naar het lokaal waar op hun niveau instructie werd gegeven en de bakjes met losbladige opgaven stonden. Uiteindelijk beviel de aanpak niet zo goed, omdat de rijtjes sommen toch wel eenzijdig en saai waren en veel leerkrachten moeite hadden om te overzien wat een kind nu werkelijk had geleerd. 15
Daarnaast stond het voorbereidend en aanvankelijk rekenen in de belangstelling. Uitgevers maakten volop speelleermaterialen voor de kleuterscholen. Voor de laagste klassen van de lagere school brachten ze rekendozen met kaartjes, kleine voorwerpjes en draadjes in de handel om bijvoorbeeld te tellen en groeperen. Reeds langer bestaande leermiddelen – om bijvoorbeeld breuken inzichtelijk te maken, te leren klok kijken en met geld om te gaan – kregen een facelift door een kleurige uitvoering en gebruik van kunststof.

Realistisch rekenen en wiskundeonderwijs
Vanaf 1971 kwam er een belangrijke kentering in de aanpak van het rekenonderwijs onder invloed van wiskundigen van de Universiteit van Utrecht, de filosoof H. Freudenthal en andere voorlopers en medewerkers van het huidige Freudenthal Instituut, zoals E. de Moor, A. Treffers en K. Gravemeijer. Door de onder meer de conferenties en de nauwe samenwerking met andere instituten, werd het gedachtegoed overgenomen door beleidsmakers en methodenontwikkelaars. De Wet op het Basisonderwijs stelde in 1985 het vak ‘rekenen en wiskunde’ verplicht, waardoor er behoefte ontstond aan methoden die wiskunde integreerden in het rekenonderwijs. Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool was een samenwerkingsproduct van het Centraal Instituut voor Toetsontwikkeling (CITO), de Stichting voor de Leerplanontwikkeling (SLO), het Ministerie voor Onderwijs en Wetenschappen en de Universiteit van Utrecht. 16 De nieuwe aanpak is te karakteriseren als realistisch, gebaseerd op vijf fundamentele onderwijsprincipes: construeren en concretiseren; niveau’s en modellen; reflectie en eigen producties; sociale context en interactie en als vijfde structureren en verstrengelen. De rekenmethoden uit de begin jaren tachtig tot heden, zijn allemaal opgezet volgens de bovengenoemde principes. In de vitrine ligt een exemplaar van Operatoir rekenen (1977) met de bijbehorende rekendoos en De Wereld in getallen (1981) met het honderdveld en later de lege getallenlijn. Uit dezelfde periode dateert Rekenen en wiskunde (1984), een methode die in het kader van achterstandsbestrijding in het project Onderwijs en sociaal milieu in Rotterdam is ontwikkeld. 17 Inmiddels zijn er om de paar jaar herziene versies van de rekenmethoden verschenen. Vooral bij de komst van de Euro in 2002, schaften de scholen massaal de nieuwste versies aan met bijbehorende materialen. We besluiten met de methode Pluspunt (1994) van uitgeverij Malmberg die de methode propageert als ideaal voor een evenwichtige afwisseling tussen leerkrachtgebonden lessen en zelfstandig te verwerken lessen, adaptief onderwijs en zorgverbreding. 18 De leerstof is gegroepeerd rond thema’s en bestaat uit twaalf rekenblokken per leerjaar. Het rekenpakket begint al bij de onderbouwgroepen met themakoffers, cd’s, grote platen en allerlei spelmateriaal. De kinderen kunnen niet meer volstaan met één klein rekenboekje zoals in de tijd van Bartjens en Hemkes, maar hebben een geel boek voor de klassikale behandelde leerstof, een blauw boek met opdrachten voor zelfstandig werken, een rood plusboek voor de extra opgaven en een groen werkboek voor opgaven, zoals diagrammen en grafieken. Voor de leerkrachten zijn aparte uitgaven met een handleiding, leerlijnen, kopieerbladen, gebruikersbulletins en antwoordenboeken. Verder is er software ontwikkeld met herhalings-, verdiepings- en verrijkingsstof en op internet is nog extra informatie te vinden voor kinderen, ouders en belangstellenden. Kortom, een goed doordachte, maar wel kostbare investering.

Samenvatting Lange tijd was de didactiek van het rekenonderwijs vooral gebaseerd op voordoen en nadoen en toepassen van standaardoplossingen. In het begin van de twintigste eeuw kwam er meer aandacht voor aansluiting bij het kinderlijk denken en ontstonden er discussies over de inhoud en didactiek. Na de Tweede Wereldoorlog verschenen er steeds meer methoden die de klassikale aanpak wilden doorbreken. De laatste decennia is Nederland exporteur geworden van het realistisch reken- en wiskundeonderwijs dat werd gepropageerd door het Freudenthal instituut en de Universiteit van Utrecht. 19

Literatuur
Beckers, D & Kool, M. (2004). Cijfferinghe. Het rekenboek van de beroemde schoolmeester.
Hilversum: Verloren.
Beckers, D. & Smid, H.J. (2003). Rekenmeesters. Grondbeginselen der Rekenkunde. Hilversum: Verloren.
Beusekom, N. van (1994). Pluspunt. Den Bosch: Malmberg.
Bijl, J., Teunissen, J. & Buys, N. (1977). Operatoir rekenen. Tilburg: Zwijsen.
Bouman, P.J. & Zelm, J.C. van (1916). Eerste rekenboek voor de lagere school. Amsterdam: Versluys.
Diels, P.A. & Nauta, J. (1936). Fundamenteel rekenen. Richtlijnen voor het rekenonderwijs op de lagere school. Groningen: Wolters.
Diels, P.A. & Nauta, J. (1939). Beknopte handleiding. Groningen. Wolters.
Hemkes, H. (1862 11de druk; oorspr. 1835). De kleine rekenaar of gemakkelijk rekenboekje voor
eerstbeginnenden. Groningen: M. Smit.
Hemkes, H. (1839). Rekenboek voor jongens van den landelijken stand. Groningen: M. Smit.
Galen, F. van, Gravemeijer, K., Buys, K. (1984). Rekenen en wiskunde. Baarn: Bekadidact.
Grazer, G. (1933). Rekenmetodiek en moderne psychologie. Tilburg: RKJW.
Kellinga, C. (1926). Noodig rekenen op de lagere school. Tilburg: RKJW.
Molengraaf, G.W.J. van de (1981). De wereld in getallen. Den Bosch: Malmberg.
Moor, E. de, (1999). Van vormleer naar realistische meetkunde. Een historisch-didactisch onderzoek
van het meetkundeonderwijs aan kinderen van vier tot veertien jaar in Nederland gedurende de negentiende en twintigste eeuw. Utrecht: Universiteit van Utrecht.
Remery, M.E.M., (2002). Rekenen en Wiskunde in het Primair Onderwijs. Utrecht Inspectie van het onderwijs.
Reynders, J.M. en Snijders, J. Functioneel rekenen. Amsterdam: Versluys.
Rombouts, fr. S. (1948). Geef acht. Nieuwe rekencursus voor de lagere school. Tilburg: RKJW.
Scholte, H. (1904). Hoeveel en waarom. Handleiding bij het rekenboek voor de lagere school. Groningen: Wolters.
Schoonbrood, M. (1898). Het rekenonderwijs in de lagere school. Den Haag: Ykema.
Treffers, A. Moor, E. de, en Feijs, E. (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 1. Overzicht einddoelen. Tilburg: Zwijsen.
Versluys, J. (1875). Rekenboek voor de lagere school. Handleiding. Amsterdam: Versluys.
Vossen, H.M.M. (1966). Niveaucursus rekenen. Den Bosch: Malmberg.
Zandvoort, R.H. et al. (1955). Naar zelfstandig rekenen. Groningen: Wolters.

Noten
1 Beckers & Kool, 2004.
2 Beckers & Smid, 2003.
3 Zie p. 28-30; Hemkes, 1839.
4 Ibid.
5 Versluys ‘1875’.
6 De Moor, 1999, 119-126.
7 Schoonbrood, 1898.
8 Scholte, 1904, Deel 1-7. Rekenbord, depot Onderwijsmuseum.
9 Bouman, 1916, Teldoos, depot Onderwijsmuseum.
10 Kellinga, 1926.
11 Grazer, 1933.
12 Rombouts, 1948.
13 Diels & Nauta, 1939, 15.
14 Zandvoort, 1955, Reynders, 1958, en Vossen, 1966.
15 Remery, 2002.
16 Treffers, 1989.
17 Bijl, 1977, Molengraaf, 1981.
18 Van Beusekom, 1994.
19 www.vriendenonderwijs
museum.nl; www.fi.uu.nl.