170403. Rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw door M. Kool, 1999 nr. 4

 Het leven van een zestiende-eeuwse koopman was rekenkundig gezien, niet eenvoudig. Zijn Middeleeuwse collega kon nog met wat handelswaar langs de huizen trekken en hier en daar wat verkopen of ruilen. Maar aan het eind van de Middeleeuwen wordt de handel geleidelijk aan complexer. Kooplieden gaan vaak niet meer zelf op pad. Ze betrekken een kantoor en sturen hun 'factoren' op handelsreis. Dit personeel wil uiteraard salaris ontvangen of meedelen in de winst. De reizen worden groter en gaan vaak over zee, er moeten transportkosten betaald worden en de goederen moeten verzekerd zijn. Vrijwel elke stad heeft zijn eigen muntsysteem, er moet dus veel gewisseld en omgerekend worden. Wie geld leent, moet rente betalen. Wie samen met een compagnon handel drijft, moet na afloop de winst of het verlies delen. Kortom, een zestiende-eeuwse koopman die niet kan rekenen, kan wel inpakken. Dat geldt uiteraard ook voor de bankiers, geldwisselaars en boekhouders. Ook timmerlieden, goudsmeden en muntmeesters moesten vaardig zijn in de kunst van de getallen. Die kunst konden ze leren uit rekenboeken die speciaal voor hen geschreven werden in de Nederlandse taal.

 Nederlandstalige rekenboeken

Er zijn voor zover bekend 36 Nederlandstalige rekenboekjes overgeleverd uit de vijftiende en zestiende eeuw. Deze waren vooral bedoeld om koop- en ambachtslieden en beoefenaars van allerlei financiële beroepen de rekenkunde bij te brengen die ze in hun dagelijkse beroepspraktijk konden gebruiken. Van den Dijcke noemt in het voorwoord van zijn rekenboek uit 1591: ‘cooplieden, rentmeesters, wisselaers ende cassiers’. Wentsel schrijft zijn rekenboek uit 1599 voor: 'metselaren, timmerlieden, alle de ghene de welcke eenighe sware wercken maken, als van gout, van silver, van coper, van metael, als muntmeesters, goudt ende silversmeden, clockeghieters ende die 't grofgeschut gieten’. Uit de inhoud van de rekenboeken blijkt dat men terdege rekening houdt met de genoemde beroepsgroepen. Zo behandelt men bijvoorbeeld de regel voor 'buitenlandse'  berekeningen, waarmee vraagstukken over het wisselen van geld opgelost kunnen worden, de regel van gezelschap voor het gezamenlijk handeldrijven met een compagnon, de regel van mengsels, die zeer geschikt is voor muntmeesters en goud- en zilversmeden, die allerlei metaallegeringen moeten maken. Ook de regel van tarra, de regel van taxatie en de regel van verzekering zullen in de praktijk goede diensten bewijzen. Met de rekenboeken worden de leerlingen goed voorbereid op de rekenkundige vraagstukken in hun latere beroep.

Zeer waarschijnlijk zijn er destijds veel meer van dergelijke boekjes gedrukt en geschreven, maar vele zijn er in de loop der eeuwen verloren gegaan, wellicht gewoon versleten. Veel kooplieden droegen altijd een rekenboekje bij zich om de tafels van vermenigvuldiging, de datum van de eerstvolgende jaarmarkt of de uitkomst van een bepaalde berekening op te zoeken. In sommige rekenboeken staan tabellen waarin de prijs van een aantal goederen valt af te lezen, als de prijs per stuk bekend is.

De rekenboekjes werden gebruikt als naslagwerk, het octavoformaat paste in elke binnenzak, maar ook als instructieboek van de rekenkunde. Sommige rekenboekjes dienden als bron voor zelfstudie. Bernaert Stockmans schrijft op de titelpagina van zijn rekenboek uit 1595: 'Een korte ende eenvuldighe instructie om lichtelijcken ende bij hemzelven, zonder eenighe meester oft onderwijser, te leeren chijferen’. In de meeste gevallen werden de rekenboeken gebruikt als lesmateriaal van rekenmeesters op de Franse school. Op die school zaten voornamelijk koopmanszonen die later in de voetsporen van hun vader wilden treden. Meisjes leerden niet of nauwelijks rekenen. De rekenmeester Martin Wentsel roept weliswaar in het voorwoord van zijn rekenboek uit 1599 ouders op om hun kinderen naar de rekenles te sturen ‘… soo wel den dochteren als den mans persoonen…’, maar dat schrijft hij vermoedelijk vooral uit persoonlijke, commerci‰le belangen.

De Franse school was een particuliere school waar de leerlingen de Franse taal leerden, de handelstaal bij uitstek, boekhouden en rekenen. Op deze school werden de koopmanszonen beter op hun toekomst in de handel voorbereid dan op de Latijnse school, waar al het onderwijs in het Latijn gegeven werd en veel tijd werd besteed aan allerlei taken in de kerk. Voor het rekenen was daar nauwelijks tijd gereserveerd op het lesrooster.

 Van het traditionele penningrekenen naar het moderne rekenen met de pen.

In de zestiende eeuw leerden meer mensen rekenen dan voorheen het geval was en bovendien leerden ze rekenen op een andere manier dan hun voorvaderen steeds gedaan hadden. De weinige rekenaars in de vroege Middeleeuwen gebruikten een rekenbord. Het was gebaseerd op de abacus die al vijfhonderd jaar voor Christus bij de Grieken in gebruik was, maar in de loop der eeuwen onderging dit bord wel wat wijzigingen. In tegenstelling tot de oorspronkelijke abacus lopen op het Middeleeuwse rekenbord de lijnen horizontaal en mogen de rekenpenningen niet alleen tussen, maar ook op de lijnen gelegd worden. Het principe is hetzelfde. Een rekenpenning op de onderste lijn is 1 waard, op de volgende lijn 10, op de daarop volgende lijn 100, enzovoort. De vakken tussen de lijnen geven de penningen een waarde van 5, 50, 500, enzovoort. Op deze manier kon men getallen uitbeelden.

Als je eenmaal met penningen getallen kunt uitbeelden, dan is penningrekenen niet moeilijk meer. Optellen is een kwestie van penningen erbij leggen en aftrekken een kwestie van penningen wegnemen. Het is een erg concrete en inzichtelijke manier van rekenen. Bovendien is er bij het penningrekenen geen pen nodig. Men hoeft niet te kunnen schrijven en in dat opzicht past het penningrekenen uitstekend in de vroeg Middeleeuwse samenleving waarin de meeste mensen niet geletterd waren. Als het in sommige gevallen toch nodig was om het resultaat van een berekening vast te leggen, dan kon dat met Romeinse cijfers, die voor dit doel toereikend waren. Met Romeinse cijfers werden geen berekeningen gemaakt, alleen rekenresultaten genoteerd.

In de loop van de vijftiende en zestiende eeuw krijgt het penningrekenen concurrentie van een nieuwe rekenmethode: het schriftelijke rekenen met Hindoe-Arabische cijfers. De berekeningen werden niet meer op een rekenbord gemaakt, maar met een griffel op een lei of met een krijtje op het tafelblad geschreven.

De oude rekenmethode werd niet meteen terzijde geschoven, want de nieuwe methode kende aanvankelijk enkele bezwaren. Voor het 'moderne' rekenen moest men kunnen schrijven en dat kon nog lang niet iedereen in de zestiende eeuw. Rond 1600 kon slechts 60% van de mannen en 40% van de vrouwen de eigen trouwakte ondertekenen. Op school leerde men het schrijven pas na het lezen en de meeste leerlingen hadden tegen die tijd de school al verlaten. Een tweede moeilijkheid van de nieuwe rekenmethode was het cijfer nul. Bij de Romeinse cijfers was geen nul nodig. Nul was een lege plek op het rekenbord. Bij het schriftelijke rekenen moest er voor nul een symbool gebruikt worden, dat enerzijds 'niets' betekende, maar dat anderzijds toch in staat was de waarde van een getal te veranderen als het eraan toegevoegd werd; 3 is iets anders dan 30. De auteurs die in hun rekenboekjes het nieuwe getalsysteem uitleggen hebben het er moeilijk mee. Ze geven lange verhandelingen over de werking en de functie van het cijfer nul.

Toch gaat men op den duur de voordelen van de nieuwe rekenmethode ervaren. Berekeningen met grote getallen en met breuken, en bewerkingen als vermenigvuldigen en delen zijn schriftelijk een stuk eenvoudiger uit te voeren dan met de penningen. Bovendien kan men een geschreven berekening controleren door deze nog eens na te lezen. Bij het penningrekenen heeft men op het eind alleen de uitkomst over en zijn de begingetallen van het rekenbord verdwenen, wat het controleren na afloop een stuk lastiger maakt.

Langzamerhand geven de voordelen van de nieuwe schriftelijke rekenmethode de doorslag en verdwijnt het penningrekenen, maar daar gaat lange tijd overheen. In 1698 worden in de Zuidelijke Nederlanden nog rekenpenningen geslagen. Gedurende de vijftiende en zestiende eeuw bestaan beide rekenmethodes naast elkaar. In de rekenboeken worden ze vaak ook allebei behandeld en rekenaars waren vaak vaardig in beide methodes. De rekenmeester Adriaen van der Gucht geeft in zijn rekenboek van 1569 aan dat het handig is om niet alleen met de pen, maar ook met de penningen te leren rekenen, want het kan gebeuren dat kooplieden die onderweg zijn wel wat ‘… ghelts over hemlieden hebben ende juuste gheen penne...'

Praktische rekenkunde

In de rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw wordt dus meestal aandacht besteed aan het traditionele penningrekenen, maar het rekenen met de pen vormt het belangrijkste onderwerp. Allereerst leert de leerling hoe hij de nieuwe Hindoe-Arabische getallen moet lezen en schrijven. Zoals gezegd, krijgt het cijfer nul veel aandacht en de auteurs laten zien dat je met het plaatswaardesysteem met gemak zeer grote getallen kunt schrijven zonder dat daar, zoals bij de Romeinse cijfers, nieuwe symbolen voor nodig zijn. Van den Hoecke behandelt in zijn rekenboek van 1537 bijvoorbeeld het getal 9876543210: ‘segghet; neghen duysent duysentwerf duysent achthondertwerf duysentduysent sessentseventich werf duysentduysent  vijfhondertduysent drie en veertich duysent tweehondert ende thiene.'  Wie om kan gaan met de nieuwe getallen is toe aan het echte rekenwerk. De auteurs behandelen het optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, en soms ook halveren en verdubbelen. Opvallend is dat de wijze waarop cijferend gerekend wordt grote overeenkomsten vertoont met onze hedendaagse manier van rekenen. In figuur 3 staat bijvoorbeeld een vermenigvuldiging uit het rekenboek van Jacques van der Schuere (1600) die in een modern rekenboek niet uit de toon zou vallen. Alleen de bewerking delen werd enigszins anders uitgevoerd. De staartdeling die wij leren is omlaag gericht, terwijl de zestiende-eeuwse deling naar boven toe uitgevoerd werd en daardoor de vorm van eenzeilschip kon krijgen. Dit werd 'galei-deling' genoemd.

Als de leerling de basis van het rekenen met hele getallen en breuken onder de knie heeft, wordt het tijd voor de toepassingen. In het tweede deel van de rekenboeken komt een groot aantal rekenregels aan de orde waarmee vraagstukken uit de beroepspraktijk van koop- en ambachtslieden en beoefenaars van allerlei financiële beroepen opgelost kunnen worden.

De belangrijkste regel is de regel van drieën. Met behulp van deze regel kan men bij drie gegeven getallen het vierde evenredige getal vinden. Peter van Halle schrijft ter introductie hiervan het volgende rijmpje:
‘Regel de tri hoe ghe onghemeeten,
doet uut dry getaelen tvierde weten.’

Hij gebruikt de regel van drieën om bijvoorbeeld het volgende vraagstuk op te lossen:
‘Oft 9 naysters maecten op eenen dach 15 paer hemden, hoe veel soudender 6 naysters maeken?’

Hij geeft het advies om de drie gegeven getallen in den regel te plaatsen: 9 ------ 15 ------ 6 Vermenigvuldig de laatste twee getallen met elkaar en deel het product door het eerste getal en zo vindt u de uitkomst. (15 x 6) : 9 = 10 hemden.

Dit hemdenvraagstuk is niet zo moeilijk, maar al snel behandelen de auteurs van de rekenboeken uitermate gecompliceerde vraagstukken. Jacques van der Schuere geeft in zijn rekenboek (1600) het volgende voorbeeld:

‘Eenen laken-cooper t'Hantwerpen coopt 6 packen laken. Elcken pack 10 stucken, het stuck 42 ellen, tot 4 guldens Brabandts d'elle. Die doet hy voeren naer Francfort betalende voor licent, vracht ende ander oncosten op den Rhijn 4 ponden Vlaems voor yeder pack. 't Selve vercoopt hy te Francfort tot 168 Rhijnsche guldens 't stuck. Soo dan 10 guldens Rhijns sijn 11 guldens Brabants ende 9 guldens Brabandts een pont Vlaems, wat windt ofte verliest hy?’

Het is duidelijk dat een zestiende-eeuwse koopman in zijn handelspraktijk voor pittige rekenvraagstukken kon komen te staan.

 Recreatieve rekenkunde
De rekenboeken staan vol met praktische rekenregels en toegepaste vraagstukken, maar er is meer. Tussen al die nuttige zaken staan soms vraagstukken die helemaal niet zo nuttig zijn, vraagstukken over situaties die een koopman op handelsreis zelden of nooit zal tegenkomen.

Zoals bijvoorbeeld het vraagstuk dat Christianus van Varenbraken in zijn rekentractaat uit 1532 aan de orde stelt:

‘Eenen dronckaert drinct een tonnebiers alleene uut binnen 14 daghen. Ende als sijn wijf met hem drinct so drincken sij die tonne uut binnen 10 daghen. Nu es de vraghe, binnen hoe veel tijdt dat sijn wijf die alleene uut drincken soude.’

Wat doet zo'n vraagstuk in een boek vol praktische vraagstukken? Christianus van Varenbraken geeft zelf het antwoord. Boven het vraagstuk staat het opschrift: ‘Een questie uut ghenouchten.’ Kennelijk werd dit voor het plezier opgelost. Ook in de zestiende-eeuwse schoolklas kon de boog niet altijd gespannen zijn en wilde men met een grappig vraagstuk tussendoor voor wat vermaak zorgen.Van der Gucht heeft aan het eind van zijn boek uit 1569 een bonte verzameling van dergelijke recreatieve vraagstukken bijeen gebracht. Hij kondigt ze aan met de tekst: 'Hier naer volghen zommighe ghenoughelicke raedselen aenroerende den cijfer, om eenighe ghezelschepen te verblijden.' Sommige van deze recreatieve vraagstukken blijken al eeuwen oud te zijn en in allerlei buitenlandse rekenboeken voor te komen.

De Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw geven ons een beeld van het rekenonderwijs uit die tijd. Er moest flink geoefend worden om de nieuwe rekenmethode met de Hindoe-Arabische cijfers onder de knie te krijgen en deze te kunnen toepassen op praktische vraagstukken. Sommige boeken geven honderden vraagstukken als oefenmateriaal. Daarnaast was er af en toe tijd voor wat ontspanning. Soms hoefde eigenlijk niet eens gerekend te worden om een vraagstuk op te lossen. Peter van Halle schrijft in zijn rekenboek uit 1568 over twaalf pelgrims die langs een perenboom lopen waaraan twaalf peren hangen. Elk plukt een peer en na afloop blijven er nog elf peren hangen. Ra ra hoe kan dat? Het antwoord luidt: Eén van de twaalf pelgrims heette 'Elk', hij plukte de peer. Flauw, maar toch leuk! Eigenlijk kan men concluderen dat er in het rekenonderwijs in de afgelopen vier eeuwen in ieder geval één ding niet veranderd is: Wie de aandacht van zijn leerlingen wil vasthouden, moet het nuttige met het aangename verenigen.